algo

Algos.tex

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 \subsection{Programmation dynamique}
 
+\begin{definition}
+	Se ramener à des sous-problèmes en sauvegardant à chaque fois le résultat pour des réutilisations ultérieures
+\end{definition}
+
+\subsection{Algorithmes de graphes}
+
+\begin{algo}[Kosaraju]
+	Calcul de composantes fortement connexes :
+	
+	\begin{enumerate}
+		\item Parcours en profondeur avec marquage de $G$
+		\item Parcours en profondeur avec marquage de $G^T$ en commençant par les noeuds de \texttt{post} maximal
+	\end{enumerate}
+\end{algo}
+
+\begin{algo}[Dijkstra]
+	Plus court chemin depuis une source vers tous les sommets
+\end{algo}
+
+\begin{algo}[Bellman-Ford]
+	Plus court chemin depuis une source vers tous les sommets
+	
+\end{algo}
+
+\begin{algo}[Floyd-Warshall]
+	Tous les plus courts chemins entre toutes les paires
+	
+	Programmation dynamique, par récurrence sur la taille du chemin.
+	
+	Version naïve :
+	
+	\begin{algorithmic}
+		\For{$k = 1$ to $|V|$}
+		\For{$u \in V$}
+		\For{$w \rightarrow v \in E$}
+		\State $\text{dist}^{k} \gets \min \begin{cases}
+			\text{dist}^{k-1}(u, v)\\\text{dist}^{k-1}(u, w) + p(w, v)
+		\end{cases}$
+		\EndFor
+		\EndFor
+		\EndFor
+	\end{algorithmic}
+
+	Variante :
+	
+	\begin{algorithmic}
+		\State $\text{dist}_2^1(u, v) = \begin{cases}
+			0 &\textit{si $u = v$}\\
+			p(u, v) &\text{si $u \rightarrow v \in E$}\\
+			+\infty &\text{sinon}
+		\end{cases}$
+		\For{$k = 2$ to $|V|$}
+		\For{$u, v \in V$}
+		\State $\text{dist}_2^k(u, v) = \min_{w \in V}\begin{cases}
+			\text{dist}_2^{k-1}(u, v)\\
+			\text{dist}_2^{k-1}(u, w) + \text{dist}_2^{k-1}(w, v)
+			\end{cases}$
+		\EndFor
+		\EndFor
+	\end{algorithmic}
+
+	Floyd-Warshall : on numérote les sommets de $1$ à $n = |V|$, et pour tout $k \in \llbracket 0, n\rrbracket$, on définit :
+	\begin{align*}
+		d^k(u, v) = \begin{cases} \begin{cases}
+			p(u, v) &\text{si $u \rightarrow v \in E$}\\
+			+\infty &\text{sinon}\end{cases} &\text{si $k = 0$}\\
+			\min\begin{cases}
+				d^{k-1}(u, v)\\
+				d^{k-1}(u, k) + d^{k-1}(k, v)
+			\end{cases} &\text{sinon}
+		\end{cases}
+	\end{align*}
+
+	Complexité : $O(|V|^3)$
+\end{algo}
+
+\begin{algo}[$A^*$]
+	
+\end{algo}
 	
 \end{document}
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